第92章 一块不该存在的砖（2/2）
“因为角度资源是有限的。”江临连头都没抬，“在一个平面內，围绕任意一个顶点的角度和必须严格等於2π。这块砖能提供的內角和外角，都在30°和90°的整数倍系统內。”
“它能贡献的角度组合是有限集，因此，围绕任何一个顶点的局部邻域，其种类也是一个有限集。”
“能闭合併向外延伸的，只有我列出的这几类。”
“不能闭合的，会在第一圈或第二圈迅速暴露死角，无法继续铺设。”
顾南舟忍不住点了点头。
他很清楚这段推导的分量。
这才是单砖问题最难的地方，不是人为设计，而是几何形体自发的剪枝。
江临继续在纸上扩展第一种合法的局部拼法。
第一圈补完后，几块砖组合在一起，中心外围不可避免地形成了一个更大的，呈现特定形状的凹槽区域。
“看到这个新的边界了吗”江临用笔尖敲了敲那个大凹槽，“这个凹槽的形状，它不能被单砖隨意填补。经过刚才的角度排除法，填补它的唯一合法途径，就是將其组合成我刚才在第一步里定义的h块体，或者t块体。”
他一边快速勾勒，一边陈述几何法则：“单砖的局部相容性约束，逼出了第一级tatile。”
“而第一级tatile组合后形成的新边界，依然带有同样类型的凹凸约束，且尺度放大，这会继续逼出第二级tatile。”
“这个过程一旦启动，就无法停止，底层的几何规则强迫上层建筑按唯一指定的路线演化。”
“你如何保证，所有合法的局部拼法，最后都会毫不遗漏地归入那四类 tatile 的结构中”顾南舟追问道。
江临放下笔，从黑色的笔记本后方，抽出一张摺叠好的方格纸，展开，推到顾南舟面前。
那是一张极其详尽的表格。
字跡工整，逻辑严密。
表头清晰地写著。
local patches | valid | forced tatile | dead end
表格里，密密麻麻地列出了数十种顶点周围的拼接组合。
每一行，都像是对某种可能性下达的判决书。
博士生看到这张表，眼角的肌肉忍不住抽搐了一下。
他研究铺砌三年，导师课题组里第二號人物，王氏砖的不可判定性他能从头推到尾。
所以他下意识地想要去挑刺，去找漏洞。
局部邻域怎么可能枚举得完，组合是指数爆炸的。
可这张摺叠的方格纸。
几十种邻域，每一种的合法性、归属、死亡条件，列得整整齐齐。
他要问的那个漏洞，在表格第十七行，已经被叉掉了。
满腹话语说到嘴边，变成了一句：“同学，你提前算过这个”
“算过一部分。”江临回答。
“不，这不是一部分。”顾南舟打断了博士生的话，目光像扫描仪一样快速掠过表格上的数据，“所有导致拓扑发散的关键邻域，全在这里了。”
没有人再隨口插话。
当局部边界的约束条件、有限邻域的穷举排除、以及合法的强迫归类赤裸裸地摆在桌面上时，任何感性的怀疑都显得苍白无力。
第一层的几何强迫。
第二层的结构继承。
在这张纸上，它已经呈现出一种很难隨口击穿的结构闭合。
这已经绝不是什么课堂上的信手涂鸦。
c216教室里，剩下的几个学生全都围了过来，却没有人说话。
他们看著那张纸上的怪异十三边形，就像在看一个从外星坠落的造物。
顾南舟目光灼灼地盯著江临，问：“第三步呢”
“反证周期性。”
江临拿回纸笔，在最右侧的空白处写下一个简洁的公式。
t+v=t
“假设，存在一个非零的平移向量v，使得这整张无限大的铺砌图案，在沿著v平移之后，能够与原图案严密重合，这就是周期性的定义。”
他说完，在左侧画出了第一层tatile的边界示意图。然后用虚线在外面框出第二层。
接著是第三层。
一层嵌套一层，每一层的尺度都在以固定的比例放大。
“刚才的第二步已经证明，任何合法的铺法，都不会是混乱的，它一定会被局部边界的强迫力量，严格分解成第一层的tatile。”
“第一层，又会被强迫组合成第二层。”
“第二层组合成第三层，这种具有固定结构的层级，將向外无限延伸。”
顾南舟看著那个嵌套的图形，手心微微出汗。
他已经完全预判到了江临接下来的逻辑走向。
那將会是临门一脚。
江临继续推进逻辑的锁扣：“既然如此，如果存在这个周期向量v，那么它平移的，不仅仅是底层的单砖。”
“它还必须保持每一层tatile的分解边界不发生改变。”
“因为一旦改变，平移后的图案就会导致原本的层级边界错位，这与所有合法铺法必然符合该强迫层级的结论相矛盾。”
他在纸上写下严格的推导条件：
v preserves level 1 boundaries
v preserves level 2 boundaries
...
v preserves level n boundaries
江临画了一个占据半张纸的巨大tatile轮廓。
“但是，第n层tatile的空间尺度，是隨著n的增加而无界增大的。”
“对於任意一个固定的非零的向量v，我们总能在无穷的层级中，找到一个足够大的n，使得向量v的长度|v|，远远小於第n层tatile的特徵尺度。”
“在这种悬殊的尺度差异下，平移一个微小的距离v，绝对不可能把第 n层那庞大的边界，整体送回到另一个第n层边界的位置上，它一定会发生不可调和的错位。”
“因此，唯一能够满足保持所有无限层级边界重合的平移向量，只有一个。”
江临在推导的末尾，写下最终的结论。
v=0
“所以，不存在任何非零的周期平移。”
“这块砖，只能非周期地铺满平面。”
证明结束。
江临放下铅笔。
长桌周遭落针可闻。
阳光从窗外打进来，照在纸面上那几个粗糙的手绘图形和公式上。
能铺满。
局部边界產生强迫层级。
无限层级的尺度差异反证周期性。
三步逻辑，环环相扣，没有留下显眼的断口。
在这张简陋的课桌上，完成了一个闭环。
所有人心里都清楚，这並不是一篇可以直接发表的完整论文。
它缺乏大量的形式化语言修饰。
它还需要將那些手绘的图錶转化为严谨的计算机辅助向量图。
它需要补全表格中剩余那些显然不成立的局部邻域的冗长排除过程。
它还需要明確这块砖在铺设时是否允许翻面（手性问题）。
但它至少已经有了一副能经受第一轮审查的骨架。
那个研二的学生咽了一口唾沫，声音有些发抖：“顾老师，这到底算什么”
顾南舟没有立刻回答他。
他深吸了一口气，从口袋里摸出手机，打开相机。
双手有些不自然地紧绷，对著江临画的那几张纸，以及那张摺叠的表格，连续拍了十几张照片。
拍完整体，他又將镜头对准了第一张纸上那个不起眼的，像帽子一样的十三边形单砖，单独拍了一张特写。
做完这一切，顾南舟把手机扣在桌面上，目光盯著江临。
“我需要確认几个边界条件。”顾南舟的声音前所未有地严肃，“这块砖，在实际拼贴的时候，需要人为添加顏色標记吗”
“不需要。”
“需要边缘画箭头来指示方向吗”
“不需要。”
“所有的强迫属性，仅仅依靠它自身的几何多边形边界”
“只靠几何边界。”江临回答。
“铺设过程中，允许將单砖翻面使用吗”顾南舟问到了最关键的技术细节之一。
江临点头：“目前的证明版本，允许翻面，它包含左手性和右手性的混用。”
顾南舟沉思了片刻：“允许翻面，这在单砖问题上已经足够惊人。至於不允许翻面的手性版本，那是另一层更强的要求，不能混在今天这个证明里。”
说到这里，他停顿了几秒，眼神变得极为复杂。
要理解顾南舟此刻的失態，得先知道这块砖背后，到底是个什么问题。
事情要从“铺地砖”这样一件再普通不过的小事说起。
拿一种形状的砖去铺满一面墙，一块地，这事谁都见过。
正方形可以，长方形可以，正六边形也可以，蜂巢就是这么来的。
它们的共同点是，铺出来的花纹，是重复的。
你站在屋子这头看到的图案，和那头一模一样。
把整张图往旁边挪一格，严丝合缝地又能盖回自己身上。
这种挪一段距离就能和自己重合的性质，数学上叫周期性。
几千年来，人类铺的所有地砖，墙砖，镶嵌画，几乎全是周期的。
重复，是这件事最自然最省力的样子。
直到有人提出一个古怪的问题。
能不能找到一种铺法，它能铺满整个无限大的平面，却永远不重复?
不是局部花点心思搞出一小块不规则，而是哪怕你把这张图无限延展出去，走到天涯海角，也绝对找不到两块可以完全对齐的区域。
整张图，处处相似，却又处处不同，永远不会出现那种挪一下就重合的整齐。
这种铺法，叫非周期铺砌。
光是存在不存在这个问题，就已经够折磨人了。
但真正让几代数学家睡不著觉的，不是这个问题本身，而是它一个更刁钻的变种。
你可能会想，不重复有什么难的
我拿一堆形状各异的碎砖，胡乱往地上摆，东一块西一块，横七竖八，这不就铺出一片永不重复的乱图了吗
没错，这样確实不重复。
但这是你不让它重复。
是靠你这双手时时刻刻盯著，刻意避开，才勉强不重复。
你手一松，或者换个不上心的人来铺，它隨时会塌回那种整齐的，重复的样子。
这种不重复，是脆弱的，是要人盯著的。
数学家想要的，是另一种东西。
他们想找到这样几种砖：它们的形状本身，就不允许重复。
你拿著这几种砖，哪怕你存心想铺出一个重复的整齐的图案，你也办不到。
每一次你试图让它对齐，让它重复，砖的边缘就会咬不上，留下填不平的缝。
你越想让它规整，它越是把你逼回那条不重复的路上。
不需要你盯著，不需要任何人盯著。
规则不写在纸上，而是长在砖的边缘上。
形状，就是命令。
这，才是非周期铺砌问题真正的核心。
而它最极端最让人头皮发麻的版本，就是那个所有人都绕不开的追问，
到底最少要用几种这样形状的砖，才能办到非周期铺砌
这个问题，从1960年代王氏砖被提出算起，几代人围著它转。
最早，要逼出一种永远无法周期重复的拼法，得用上两万多种形状不同的砖。
后来一代代人往下压，几百种，几十种。
直到1974年，彭罗斯石破天惊般，仅仅只是用两种砖做到了非周期铺砌。
两种。
一种胖菱形，一种瘦菱形。
靠边缘的咬合规则，它们能铺满整个平面，却永远拼不出重复的花纹。
这是已经写进每一本教科书的里程碑之作。
从那以后，所有人都知道下一步该往哪走。
不就是从两块，到一块吗
外行听到这儿，多半会觉得这是顺理成章的小进步。
都做到两块了，再省掉一块能有多难。
然而事实恰恰相反。
这里藏著一个最反直觉的地方。
砖的种类越少，反而越难，难到隔了半个世纪也没人找出来。
道理其实不绕。
两种砖之所以能锁死周期性，是因为它们互相制约。
胖菱形和瘦菱形必须按规则交替咬合，谁也离不开谁，正是这种你管著我我管著你的张力，把整张图案逼得无法重复。
可一旦只剩一种砖呢
它就只能自己管自己。
一种形状，最怕的就是首尾相接，自我复製。
你把它复製一份，平移一段距离，严丝合缝地接上去，周期就出现了。
正方形会这样，正六边形会这样，地砖蜂巢，全是这样。
绝大多数你能想到的形状，只要能铺满平面，就一定能周期铺。
所以一块砖这个要求，本质上是在问一个近乎悖论的问题。
能不能设计出一种形状，它能铺满整个无限平面，却被自己的几何边界死死卡住，无论怎么拼，谁来拼，都绝对拼不出哪怕一丁点儿的重复
它必须既合群到能填满每一寸空间，又孤僻到永远拒绝和自己的复製品对齐。
这就像要打造一把钥匙，它能打开世界上每一扇门，却在物理上註定无法被任何一扇门复製。
它得同时是万能的，又是独一无二的。
要把这两种互相矛盾的属性，同时塞进一块砖的几道凹凸边界里，难就难在这儿。
少了第二块砖来帮忙制约，所有的约束力，都得靠这一块砖自己的形状扛下来。
正因如此，这一步，一隔就是半个世纪。
顾南舟很清楚这半个世纪是什么概念。
他读博的时候，导师就提过这个问题，说这是能让人耗尽一生的坑。
他认识的几个同行，有人围著它转了二十年，发了一堆边角料的论文，最后喝多了才敢承认。
我赌它存在，但我这辈子大概是看不到了。
更多的人，连赌它存在都不敢说。
因为这个问题连方向都是模糊的。
没人知道那块砖到底存不存在。
万一你花十年证明了它不存在，那也算有交代。
可万一它明明存在，你却用十年得出了不存在的结论，那就是一场学术生涯的灾难。
所以多数聪明人选择绕开。
而眼前这个学生，用一支铅笔，几张a4纸，一个下午。
就把它画了出来。
还顺手把为什么它必然非周期的骨架，当著十几个人的面，三步推完了。
顾南舟感到一阵荒谬的眩晕。
甚至下意识地想，是不是这孩子在哪本预印本上看过类似的构造，凭记忆默写了出来。
可这个念头刚冒出来就被他自己掐灭了。
如果真有这样一篇预印本，以这个领域的体量，早就传遍了，他不可能没听说。
更何况，记忆能默写出图形，默写不出那张局部邻域强迫表。
那张表是要在脑子里把每一种角度组合挨个推死，再分类归档才能列出来的。
那不是背的，那是算出来的。
他看著江临，问出了那句他自己都觉得问得多余的话。
“同学，你清楚你自己刚才画出来的，究竟是什么东西吗”
江临低下头，看著那块线条生硬的十三边形，轻声答道：“一块不能重复的砖。”
顾南舟差点被这个回答噎住。
一块不能重复的砖。
轻飘飘七个字。
可这七个字，是几代数学家穷尽职业生涯都不敢轻易写下的一句话。在江临嘴里，却像在描述一块隨手捡来的鹅卵石。
“这句话，从你跨出这个教室门开始，不要隨便往外说。”
顾南舟深深看了他一眼，语气中带上了一丝告诫的意味。
旁边那个博士生，还在死死盯著桌上那张摺叠的方格纸。
他研究铺砌三年，是顾南舟课题组里公认的第二號人物，王氏砖的不可判定性他能从头推到尾。
所以从江临落笔第一个十三边形开始，他的第一反应不是惊嘆，而是找茬。
这是一个训练有素的研究者最本能的动作。
局部邻域不可能枚举得完，组合是指数级爆炸的。
他想。
替代规则的无限叠代，凭什么保证收敛
他想。
第三步那个尺度论证，会不会在某个边界情形上偷偷塌掉
他想。
他甚至已经把第一个问题组织成了语言，准备等江临讲完就拋出去。
这是他的强项，他在组会上靠这一手干翻过不少师弟师妹的报告。
然后他看见了那张表。
几十种顶点邻域，每一种的合法性，强迫归属，死亡条件，列得整整齐齐。
他正要问的那个指数爆炸的漏洞，被一行角度资源有限集轻描淡写地堵死了。
他准备追问的那个边界情形，在表格倒数第几行，已经画著一个清清楚楚的叉。
他张了张嘴。
最终把话咽了回去。
並意识到了一件更恐怖的事。
这个人在动笔之前，恐怕就已经把他这个研究三年的人能想到的所有质疑，预先想过一遍，並且全部解决了。
他不是在和你辩论，他是在你提问之前，就已经站在了辩论的终点等你。
听到导师带著告诫意味的话语，博士生倒吸了一口冷气。
他听懂了导师那句话的真正分量。
这不是怕江临出丑。
是怕出事。
学术界对於这种级別的草稿，向来有著极其残酷的优先权意识。
谁先固定形状，谁先留下时间戳，谁先把证明链条写清楚，都会成为后面爭议里的硬证据。
一块不该存在的砖，一旦传出去，会立刻变成无数双眼睛盯著的猎物。
在它被正式锚定，署上无可爭议的名字之前，任何风吹草动都可能引发不可控的后果。
有人会恰好也在做类似构造，有人会碰巧先一步掛出预印本。
“这张原稿绝不能丟了。”
顾南舟从旁边拿过一个硬壳文件夹，將江临画的那几张白纸小心翼翼地收进去，压平。
“我现在，需要给两个同行发个消息。”
顾南舟没有发朋友圈，没有发在任何上百人的学术交流群里。
而是点开微信，极慎重地选择了两个联繫人。
一个是南京大学做离散几何的老同学，另一个是中科院一位做准晶与非周期铺砌理论的研究员。
这是他在急切之间，在国內，在这个领域，所能找到的，比较有分量的两双眼睛。
手指悬在屏幕上方，停顿了两秒。
他知道这条消息发出去意味著什么。
他在那两个人面前一向以稳著称，从不夸张，更不会在没把握的事情上惊动別人。
这两个联繫人，他平时连转发会议通知都嫌打扰，已经大半年没主动找过。
正因如此，他接下来要发的內容，必须配得上这次打扰的分量。
他刪掉了第一版措辞，又刪掉了第二版。
最后留下的，简短得像一封加密电报。
【今晚有空吗，通个话。我手里，可能出现了一块不该存在的砖。】
发送。
放下手机的时候，顾南舟的指尖微微有些发颤。
他做了二十年学问，第一次有亲手推开一扇门的实感。
虽然推门的人，其实不是他。
很快，屏幕在桌上亮了一下。
南大那位回得极快，只有三个字。
【哪块砖】
顾南舟盯著这三个字看了几秒。
他能想像出对方此刻的表情。
在这个圈子里，一块不该存在的砖这句话，不需要任何解释，所有人都知道指的是哪个问题。
对方那句哪块砖，问的不是什么砖，而是，你疯了吗，你知道你在说什么吗
几乎同时，院士团队那位也回了，比前一条更短。
【人在哪】
顾南舟当然懂这三个字背后的意思。
在这种级別的成果面前，最先要確认的从来不是真偽。
真偽可以慢慢验。
而是人。
是谁，在哪，安不安全，会不会被別人先一步接触到。
他把手机扣在桌面上，转过头，看著长桌边的学生。
此刻，也没有人有心思去討论彭罗斯的两个菱形了。
那两块曾被奉为经典入口，写满半块白板的菱形，此刻还静静地留在投影幕布上。
可没有人再看它一眼。
它像是一个时代的纪念碑，在这块突如其来的十三边形面前，悄无声息地退回了背景里，成了上一个答案。
教室里安静得能听见投影仪风扇的嗡鸣。
十几个人，没有一个说话。
他们看著那张纸上线条生硬的怪异多边形，那种感觉很难形容。
像是亲眼看著一件本该躺在几十年后教科书里的东西，提前坠落到了眼前这张油漆斑驳的长桌上。
而落下它的人，此刻正安静地把铅笔收进笔袋，动作平淡得像是刚做完一道课后习题。
博士生的目光落在江临脸上。
那张脸年轻得过分，下頜线还带著少年人的圆润，一头黑髮浓密得几乎不像个常年熬夜的研究者。
怎么看，都不像是能在这个坑里待过哪怕一年的人。
他张了张嘴，问出了所有人此刻最想知道的那个问题。
“同学，你哪个院系的”